aLeynâ

Rasyonel Sayılar ve Özellikleri

1-RASYONEL SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
A)Rasyonel Sayılar:Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel sayı denirRasyonel sayıların meydana getirdiği kümelere rasyonel sayılar kümesi denirRasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir

NOT:Her tam sayı rasyonel sayı olarak yazılabilir
ÖR:
Yandaki şekildebir bütün 4 eş parçaya
Kaynak :): ツ SonFrm.com | Sonsuzluga giden tek Yol.. [Linkleri Sadece Kayitli Üyelerimiz Göre Bilir. Buraya Tıklayarak Kayit Olabilirsiniz...]
bölünmüş ve bu eş paçalardan üç tanesi taranmıştır

3
4

Taralı bölgebütünün üç tane parçası(kesri)dirBu parçaları belirten kesir 3 biçiminde gösterilir
4
3 kesrinde; 3’e pay4’e payda denir: 3 kesri “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur

NOT:ıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir

Pozitif rasyonel sayılar kümesi “Q+”ile gösterilir Negatif rasyonel sayılar kümesi”Q-“ile gösterilir


Q = Q- U {0} U Q+








-1-
B)Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük küçüklük)
1-Paydaları eşit olan rasyonel sayılar:
Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda payı büyük olan daha büyükpayı küçük olan daha küçüktür

ÖR: 15 7 3 3 7 15
20 20 20 20 20 20

Paydaları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidirPayı büyük olan negatif rasyonel sayılar küçükpayı küçük olan negatif rasyonel sayılar büyüktür
ÖR: 15 7 3 15 7 3
20 20 20 20 20 20

2-Payları eşit olan rasyonel sayılar:
Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda paydası küçük olan daha büyük paydası büyük olan daha küçüktür

ÖR: 7 7 7 7 7 7
9 5 3 3 5 9

Payları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidirPaydası büyük olan negatif rasyonel sayılar büyük paydası küçük olan negatif rasyonel sayılar küçüktür

ÖR: 7 7 7 7 7 7
9 5 3 9 5 3

3-Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılar:
Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılarda pay paydaya bölünerek sıralama yapılır
ÖR: 18 7 48 18:3=6 48 7 18
3 4 57 7:4=175 57 4 3
48:57=084


-2-



Arada olma
İki rasyonel sayı arasına bir yada birkaç rasyonel sayı yerleştirmeye denir
ÖR: 2 ile 4
3 5

IYOL: 2 4 IIOL:2 4 IIIYOL: 1 2 4
3 5 3 5 2 3 5
2

1 2 4 1 10 12 1 22 22
2 3 5 2 15 15 2 15 30


ÖR: 5 ile 7 1 5 7 1 15 14
4 6 2 4 6 2 12 12

1 29 29
2 12 24

5 29 7
4 24 6
C-İrrasyonel sayılar:
Sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olmasına karşınrasyonel olmayan
gibi sayılara irrasyonel sayılar denirİrrasyonel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir
Gerçek (reel) sayılar kümesi:Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayıların birleşim kümesine gerçek (reel) sayılar kümesi denirGerçek
sayılar kümesi sayı ekseninin her noktasını doldururSayı doğrusu üzerinde her noktaya bir gerçek sayı her gerçek sayıya da bir nokta karşılık gelir
Gerçek sayılar kümesi”R” sembolü ile gösterilir
Kaynak :): ツ SonFrm.com | Sonsuzluga giden tek Yol.. [Linkleri Sadece Kayitli Üyelerimiz Göre Bilir. Buraya Tıklayarak Kayit Olabilirsiniz...]
-3-


2-RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ

a)Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken rasyonel sayıların paydaları eşit değilse paydalar eşitlenirPayların mutlak değerleri toplamı paya yazılırOrtak paydapaydaya yazılırtoplananların ortak işaretitoplama işaret olarak verilir

Tam sayılı kesirler toplanırken bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır

ÖR: +3 +7 +3 +35 +3 +38
5 1 5 35 3 5

b)Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenirpayların mutlak değerleri farkı alınırpaya yazılırOrtak payda paydaya yazılırtoplam olan rasyonel sayının işareti isemutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir

ÖR: 1 2 1 20 24 15
3 5 4 60 60 60


+20+24+(-15)
60

+44+(-15)
60

29
60




-4-
3-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE TOPLAMA
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

a)Kapalılık özelliği:İki rasyonel sayının toplamı yine bir rasyonel sayıdırYani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır

ÖR: - 2 + 2 -4 +2 -2
3 6 6 6 6

b)Değişme özelliği:Rasyonel sayılar kümesindetoplama işleminin değişme özelliği vardır

ÖR: -4 +1 -8 +7 -1
7 2 14 14 14

+1 -4 +7 -8 -1
2 7 14 14 14

-4 +1 +1 - 4
7 2 2 7

c)Birleşme özelliği:rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır

ÖR: 4 3 1 4 4 8
5 5 5 5 5 5

4 3 1 7 1 8
5 5 5 5 5 5

4 3 1 4 3 1
5 5 5 5 5 5





-5-
d)Etkisiz (birim) eleman özelliği:”0”tam sayısınarasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir
ÖR: -7 -7 -7 -7
9 9 9 9

buna göre;

-7 -7
9 9


e)Ters eleman özelliğioplamları “0”tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir

ÖR: +5 -5
20 20

-5 +5
20 20

4-RASYONEL SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının farkı bulunurkeneksilen rasyonel sayıçıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi ile toplanır

ÖR: +3 +1 +3 -1 +18 -5 +13
5 6 5 6 30 30 30



ÖR: +7 +5 +7 +25
10 2 10 10

+7 -25 -18
10 10 10



-6-

Yukarıda verilen örneğe göre iki rasyonel sayının farkıyine bir rasyonel sayıdırBuna göre ;
Rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır

5-RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı payapaydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır

NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif ters işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır
Kaynak :): ツ SonFrm.com | Sonsuzluga giden tek Yol.. [Linkleri Sadece Kayitli Üyelerimiz Göre Bilir. Buraya Tıklayarak Kayit Olabilirsiniz...]
Yani:
+ x + = +
- x - = +
- x + = -
+ x - = -


ÖR: -4 +3 (-4)x(+3) -12
1 4 1 x 4 4

NOT:Tam sayılı kesir biçminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilirSonra çarpma işlemi yapılır


6-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE ÇARPMA
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
a)Kapalılık özelliği:
İki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayıdırYani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır

ÖR: +3 -2 -6
4 3 12



-7-
b)Değişme özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır

ÖR: -19 -1 +19
20 3 60

-1 -19 -19
3 20 60



c)Birleşme özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır
ÖR: +3 -2 +1 -6 +1 -6
1 3 5 3 5 15

+3 -2 +1 +3 -2 -6
1 3 5 1 15 15


d)Yutan eleman:
Bir rasyonel sayının “0”sayısı ile çarpımı “0”dır”0”sayısına çarpma işleminin yutan elemanı denir

ÖR: -7 -7
9 9

e)Etkisiz birim eleman:
+1 rasyonel sayısına çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman denir

ÖR: +4 +4 +4 +4
3 3 3 3


-8-
f)Ters eleman:
Çarpımları +1 olan iki rasyonel sayıya çarpma işlemine göre tersi denir

ÖR: +2 +3 2 x 3 +1
3 2 3 x 2 1

g)Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır

ÖR: +1 +2 +1 +1 +3 +3
2 4 4 2 4 8

+1 +2 +1 +1 +2 +1 +1
2 4 4 2 4 2 4

+2 1 +3
8 8 8

h)Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır
ÖR: 1 2 1 1 1 1
2 4 4 2 4 8

1 2 1 1 2 1 1
2 4 4 2 4 2 4

2 1
8 8

1
8



-9-
7-RASYONEL SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
İki rasyonel sayının bölme işlemi yapılırken bölünene rasyonel sayı bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılırElde edilen çarpım bölümü verir
NOTynı işaretli iki rasyonel sayının bölümü pozitif;ters işaretli ki rasyonel sayının bölümü ise negatif bir rasyonel sayıdır

Yani: + x + = +
- x - = +
- x + = -
+ x - = -


ÖR: -3 +2 -3 +4 -3
4 4 4 2 2



+1 tam sayısının bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölümbölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir

ÖR: -2 1 -7 -7
7 1 2 2


(-1)tam sayısının bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisine eşittir

ÖR: 12 +17 17
17 12 12






-10-
Bir rasyonel sayının +1 tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm rasyonel sayının kendisine eşittir


Bir rasyonel sayının(-1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen
bölüm bölünen rasyonel sayının toplama işlemine göre tersine eşittir

ÖR: -2 -2 1 -2 1 -2
7 7 1 7 1 7

ÖR: -2 -2 -1 -2 -1 2
7 7 1 7 1 7


NOT:Sıfır sayısının sıfırdan farklı olan her rasyonel sayıya bölümü ”0” dır


Bir rasyonel sayının sıfıra bölümü taımsızdır
Rasyonel sayılar kümesinde bölme işleminde doğal sayılar ve tam sayılar kümesindeki bölme işleminde olduğu gibi; ”bölünen = bölen x bölüm” ilişkisi vardır

NOT:Rasyonel sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalıdır

NOT:Rasyonel sayılar kümesinde bölme işleminin değişme özelliği yoktur
Kaynak :): ツ SonFrm.com | Sonsuzluga giden tek Yol.. [Linkleri Sadece Kayitli Üyelerimiz Göre Bilir. Buraya Tıklayarak Kayit Olabilirsiniz...]

NOT:Rasyonel sayılar kümesinde bölme işleminin birleşme özelliği yoktur

aLeynâ

Rasyonel Sayılar ve Özellikleri

RASYONEL SAYILAR
a ve b birer tamsayı b sıfırdan farklı ve a ile b aralarında asal ise a/b şeklinde yazılabilen sayılara Rasyonel Sayı denir Yani denk kesirlerin belirttiği sayıdır Rasyonel sayıların oluşturduğu topluluğa Rasyonel Sayılar Kümesi denir ve Q ile gösterilir Buradan Rasyonel Sayılar Kümesini
Q = {x: x=a/b; a b Є Z ve b ≠ 0; a ile b aralarında asal }
şeklinde gösterebiliriz Örneğin
1/5 2/3 4 8/5 -1/2 -6/5 0
sayıları birer rasyonel sayıdır
Bazı Özellikler:
Her doğal sayı bir tamsayıdır
Her tamsayı bir rasyonel sayıdır Çünkü tamsayıların paydası vardır ve 1' dir
a/b = c/b ise a=c dir
a/b=c/d ise ad=bc dir
a ile b ve c ile d aralarında asal ve a/b=c/d ise a=c ve b=d dir

RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER

1 TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ:

Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için paydaların eşit olması gerekir Şayet paydalar eşit değilse paydalar eşitlenir Ortak payda payda olarak alınırken toplama işleminde payların toplamı paya çıkarma işleminde payların farkı paya yazılır Bu kuralı aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz:





Özellik: a/b sayısının toplama işlemine göre tersi -a/b dir yani ters işaretlisidir

Örnekler:











2 ÇARPMA İŞLEMİ

Rasyonel iki sayının çarpımı payların çarpımı paya paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır Yani

şeklinde yapılmalıdır İşaret kuralı tamsayılardaki gibidir a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi b/a dır a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi
(a/b)-1 = b/a
şeklinde gösterilir

Örnekler:





3 BÖLME İŞLEMİ

Rasyonel iki sayının bölümü ilk sayı aynen yazılır ikinci sayı ters çevrilip çarpılır Yani ilk sayı ikinci sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır Bölme işleminin genel kuralı

şeklindedir Burada b c ve d' nin sıfırdan farklı olması gerekir Çünkü sıfıra bölme tanımsızdır Diğer taraftan sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü sıfırdır İşaret kuralı çarpma işlemindeki gibidir

Örnekler:







Karışık Örnekler:

Örnek 1:

olduğuna göre

toplamının a cinsinden değeri nedir?

Çözüm:
Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak

olur Yani a+b=12 bulunur Buradan b=12-a çıkar







Örnek 2:

sayısı

sayısının kaç katıdır?

Çözüm:
Bir sayının bir başka sayının kaç katı olduğunu bulmak için bölme işlemi yapılmalıdır Bu takdirde


Örnek 3:

olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm:
Eşitliğin sol tarafı sonsuza dek gittiğinden
Kaynak :): ツ SonFrm.com | Sonsuzluga giden tek Yol.. [Linkleri Sadece Kayitli Üyelerimiz Göre Bilir. Buraya Tıklayarak Kayit Olabilirsiniz...]

yazabiliriz Buradan a/10 = 10-5 a/10 = 5 a= 105 a=50 bulunur

Örnek 4:


Çözüm:

yazılabilir Buradan
4x + 5 = x2
x2-4x -5 = 0
Çarpımları -5 toplamları -4 olan iki sayı -5 ile +1 olduğundan
(x-5)(x+1) = 0
yazabiliriz Böylece
x=5 ile x=-1 bulunur Pozitif değerlerin toplamı negatif olamayacağından x = 5 olmalıdır

Not: 5 4' ün 1 fazlası olduğundan sonuç 5 çıkmıştır 4' ün yerinde 8 ve 5' in yerinde 9 bulunsaydı sonuç 9 olacaktı 4' ün yerine a ve 5' in yerine de b koyarsak şayet b a' nın 1 fazlası (b=a+1) ise bu işlemin sonucu b olur

Örnek 5:

işleminin sonucu yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi olabilir?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Çözüm:
Verilen işlem sonsuzlu işlem olduğundan 3' ün paydasına x dersek işlemin tamamı da x olur Dolayısıyla

yazabiliriz Buradan 4x -3 = x2 x2 -4x +3 = 0 olur Bu denklem de (x-3)(x-1)=0 şeklinde yazılabileceğinden x=3 ile x=1 bulunur Dolayısıyla doğru seçenek (b) şıkkıdır

Not:

işleminde (a/2)2 = b ise bu işlemin sonucu a/2 dir

Örnek 6:


Çözüm: (8/2)2 = 42 = 16 olduğundan işlemin sonucu a/2= 8/2 = 4 tür


RASYONEL SAYILARIN SIRALANMASI :

Pozitif Rasyonel Sayıların Sıralanması:

1) Paydaları eşit olan rasyonel sayıların payı büyük (küçük) olan rasyonel sayı diğerinden daha büyüktür (küçüktür)

Örnek:
7/5 ile 3/5 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız

Çözüm:
Bu iki rasyonel sayının paydaları eşit olduğundan payı büyük olan daha büyük payı küçük olan daha küçüktür Bu nedenle bu rasyonel sayılar

şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralanabilir

2) Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası küçük (büyük) olan daha büyüktür (küçüktür)

Örnek:
12/25 ile 12/35 rasyonel sayılarını sıralayınız

Çözüm:
Bu iki rasyonel sayının payları eşit olduğundan paydası küçük olan daha büyük olduğundan

şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralayabiliriz Diğer taraftan

şeklinde büyükten küçüğe doğru da sıralayabiliriz

3) Rasyonel sayıların payları ile paydaları arasındaki fark eşit ise
Kaynak :): ツ SonFrm.com | Sonsuzluga giden tek Yol.. [Linkleri Sadece Kayitli Üyelerimiz Göre Bilir. Buraya Tıklayarak Kayit Olabilirsiniz...]
Şayet rasyonel sayılar basit kesir şeklinde iseler payı küçük olan daha küçüktür
Şayet rasyonel sayılar bileşik kesir şeklinde iseler payı küçük olan daha büyüktür

Örnek:
12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız

Çözüm:
12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarının her ikisi de basit kesirdir Ayrıca her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 5' tir Dolayısıyla payı küçük olan daha küçüktür Bu nedenle 12/17 rasyonel sayısı 14/19 rasyonel sayısından daha küçüktür Yani

şeklinde yazabiliriz

Örnek:
107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız

Çözüm:
107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarının her ikisi de bileşik kesirdir Ayrıca her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 2' dir Dolayısıyla payı küçük olan daha büyüktür Bu nedenle 359/357 rasyonel sayısı 107/105 rasyonel sayısından daha küçüktür Yani
Kaynak :): ツ SonFrm.com | Sonsuzluga giden tek Yol.. [Linkleri Sadece Kayitli Üyelerimiz Göre Bilir. Buraya Tıklayarak Kayit Olabilirsiniz...]

dir

4) Rasyonel sayılar ondalık kesre çevrilerek de sıralanabilir

Örnek:
10/11 ile 100/111 kesirlerini sıralayınız

Çözüm:
a=10/11 olsun O zaman 1/a=11/10=11 olur
b=100/111 olsun O zaman 1/b=111/100=111 olur
Dolayısıyla

dir Buradan b < a bulunur Ayrıca a > b şeklinde de yazabiliriz

5) Rasyonel sayılar tamsayılardan daha yoğundur Bu nedenle iki rasyonel sayı arasında daima başka bir rasyonel sayı vardır Buna rasyonel sayılar sıktır ya da yoğundur denir Bundan dolayı rasyonel sayılarda ardışıklıktan söz edilemez İki rasyonel sayının arasında yer alan bir başka rasyonel sayı şöyle bulunabilir:
a/b ile c/d birer rasyonel sayı ve a/b < c/d ise bu iki rasyonel sayı arasında yer alan başka bir rasyonel sayı

şeklinde bulunabilir

Örnek:
1/2 ile 3/5 rasyonel sayıları arasındaki rasyonel sayıyı bulunuz

Çözüm:

bulunur Dolayısıyla

yazabiliriz

6) İki rasyonel sayı arasında yer alan rasyonel sayıları bulmak için bu iki rasyonel sayının paydaları eşitlenir

Örnek:
Aşağıdakilerden hangisi 1/6 ile 2/5 arasında yer almaz?
a) 7/30 b) 9/30 c) 10/30 d) 11/30 e) 13/30

Çözüm:
1/6 ile 2/5 kesirlerinin paydaları 30' a eşitlenirse 1/6=5/30 ve 2/5=12/30 olur Dolayısıyla 5/30 ile 12/30 arasındaki rasyonel sayılar
6/30 7/30 8/30 9/30 10/30 11/30
dir Buna göre 13/30 rasyonel sayısı bu ikisi arasında bulunmaz Doğru seçenek (e) şıkkıdır

Negatif Rasyonel Sayıların Sıralanması:

Rasyonel sayılar önce işaretsiz (pozitif) olarak sıralanır Sonra da ters sıralama yapılarak negatif değerlerin sıralaması elde edilir Çünkü sıralama sembollerinin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılırsa sıralama sembolü yön değiştirir

Örnek:
a = -1/3 ve b = -2/7 ise a ile b' yi sıralayınız




Çözüm:
a ile b negatif rasyonel sayılar olduğundan işaretsiz olarak ele almalıyız Yani 1/3 ile 2/7 sayılarını göz önüne alalım Bu iki kesrin paylarını eşitleyelim Bu takdirde 1/3 = 2/6 olur ve 2/7 sayısı ile birlikte göz önüne alınırsa payları eşit olan kesirlerden paydası küçük olan daha büyük olduğundan 2/6 sayısı 2/7 sayısından daha büyüktür Böylece

olur Rasyonel sayıların işaretlerini negatif alıp eşitsizliğin yönünü değiştirirsek

buluruz Dolayısıyla a < b dir

Örnek:
x < 0 olmak üzere a = x/3 ve b = x/7 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız
Kaynak :): ツ SonFrm.com | Sonsuzluga giden tek Yol.. [Linkleri Sadece Kayitli Üyelerimiz Göre Bilir. Buraya Tıklayarak Kayit Olabilirsiniz...]

Çözüm:
Şayet x > 0 olsaydı

olacaktı x < 0 olduğu için

olur

Örnek:

ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) 1 < x < 3 b) 1/2 < x < 5/2 c) 22/3 < x < 26 d) 4 < x < 26/3
e) 22/3 < x < 12

Çözüm:
Verilen sıralamanın her üç tarafını da 4 ile çarparsak

olur ve sonra da sıralamanın her üç tarafına da 6 sayısını eklersek sıralamada herhangi bir değişiklik olmayacağından

22/3 < x < 26
bulunur Doğru seçenek (c) şıkkıdır

Örnek:
a=10/11 b=100/111 c=1000/1111
olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangsi doğrudur? (ÖSS-1999 iptal sın)
a) c < b < a b) c < a < b c) a < b < c d) a < c < b e) b < c < a

Çözüm:
a=10/11=1/11
b=100/111= 1/111
c=1000/1111=1/1111
payları eşit olan kesirlerin paydası en büyük olan daha küçük olduğundan
a > b > c olur Doğru seçenek (a) şıkkıdır
Örnek:
a > 0 b > 0 c > 0 ve

olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? (ÖSS-1992)
a) a < c < b b) a < b < c c) b < a < c d) b < c < a e) c < b < a

Çözüm:
a b ve c pozitif sayılar olduğundan

yazabiliriz Buradan a=5 b=15 ve c=10 olur Böylece a < c < b bulunur Doğru seçenek (a) dır

Örnek:
a=7/8 b=10/11 c=13/5
sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
a) a < c < b b) a < b < c c) b < c < a d) c < b < a e) c < a < b

Çözüm:
a ile b kesri basit bir kesirken c bileşik kesirdir Bu nedenle c bileşik kesri en büyüktür O halde a ile b yi incelemeliyiz


Buradan a < b bulunur Böylece a < b < c elde edilir Doğru seçenek (b) dir

Örnek:

olduğuna göre a b c sayıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisindeki sayılar olabilir?
a) 6/45 11/45 12/45
b) 4/27 6/27 7/27
c) 5/36 6/36 7/36
d) 2/18 5/18 6/18
e) 7/54 9/54 15/54

Çözüm:
Bu tür sorularda seçeneklerden gidilmelidir Kesirlerin paydaları seçeneklerin paydalarına eşit olacak şekilde genişletilmelidir
a) Bu şıkta paydalar 5 ile genişletilmiştir O halde 5 ile genişletirsek
5/45 < a < b < c < 10/45
olur Burada b ve c yer almaz Dolayısıyla bu seçenek doğru olamaz
b) Bu şıkta paydalar 3 ile genişletilmiştir O halde 3 ile genişletirsek
3/27 < a < b < c < 6/27
olur Burada da b ile c bu aralıkta yer almaz Dolayısıyla bu seçenek doğru olamaz
c) Bu şıkta paydalar 4 ile genişletilmiştir O halde 4 ile genişletirsek
4/36 < a < b < c < 8/36
olur Burada a b ve c bu aralıkta yer alır Dolayısıyla doğru seçenek bu seçenektir
d) ve e) seçenekleri yukarıdaki nedenlerle doğru seçenek olamaz

aLeynâ

Rasyonel Sayılar ve Özellikleri

RASYONEL SAYILARLA ARİTMETİKSEL İŞLEMLER

KESİR

a ve b birer tamsayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a/b şeklindeki ifadelere kesir adı verilir Burada a' ya kesrin payı b' ye de kesrin paydası denir Bir başka deyişle kesir bir bütünün eşit parçalarından birini ve birkaçını gösteren sayıdır Kesrin paydası bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü belirtirken kesrin payı da bu eşit parçalardan kaç tane alındığını gösterir Örneğin 2/5 kesri bir bütünün 5 eşit parçaya bölündüğünü ve bu parçalardan 2 parçanın alındığını ifade eder
Kaynak :): ツ SonFrm.com | Sonsuzluga giden tek Yol.. [Linkleri Sadece Kayitli Üyelerimiz Göre Bilir. Buraya Tıklayarak Kayit Olabilirsiniz...]

DENK KESİRLER

a b c d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı olmak üzere a/b ile c/d birer kesir ve ad = bc ise a/b ile c/d kesirlerine denk kesirler denir Örneğin 3/5 kesrine denk olan kesirler şöyle yazılabilir:
3/5 6/10 9/15 12/20 15/25 3m/5m
Burada m sıfırdan farklı bir tamsayıdır Bir kesrin pay ve paydası sıfırdan farklı bir tamsayı ile çarpılır veya bölünürse kesrin değeri değişmez Bir kesrin payı ve paydası aynı sayı ile çarpılırsa buna kesrin genişletilmesi denir Bir kesrin genişletilmesine şöyle örnek verebiliriz:

Şayet bir kesrin pay ve paydası aynı sayı ile bölünürse buna da kesrin sadeleştirilmesi denir Bir kesrin sadeleştirilmesine de şöyle örnek verebiliriz:


BAYAĞI KESİR
a ve b birer doğal sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a/b şeklindeki ifadelere bayağı kesir denir Bayağı kesirler üçe ayrılır:

1 Basit Kesirler:
Payı paydasından küçük olan bayağı kesirlerdir Örneğin
2/3 3/5 4/7 1/2 9/10 1/3 2/7 10/15
şeklindeki bayağı kesirlerin tümü basit kesirdir Bununla birlikte payı 1 olan basit kesirlere birim kesirler denir Burada 1/2 ile 1/3 basit kesirlerinin payları 1 olduğu için birim kesirlerdir

2 Bileşik Kesirler:
Payı paydasına eşit veya paydasından büyük olan bayağı kesirlerdir Örneğin
3/2 5/3 7/4 2 10/9 3 7/2 15/10 12/12
şeklindeki bayağı kesirlerin tümü bileşik kesirdir Çünkü bu kesirlerin tümünün payı paydasından büyüktür

3 Tamsayılı Kesirler:
a b c birer doğal sayı ve b < c ve a sıfırdan farklı olmak üzere

şeklinde gösterilen kesirlerdir Yani tamsayılı kesirler sıfırdan farklı bir doğal sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir Örneğin

kesri tamsayılı bir kesirdir Buradan bir tamsayılı kesrin bileşik kesir şeklinde yazılabileceğini görürüz Aynı şekilde bir bileşik kesrin de tamsayılı kesir şeklinde yazılabileceğini söyleyebiliriz Bileşik bir kesri tamsayılı bir kesre şöyle çevirebiliriz: Kesrin payı paydasına bölünür bölüm tam kısmını kalan pay kısmını oluşturur ve payda aynen alınır Örneğin 11/5 bileşik kesrini gözönüne alalım 11 5' e bölünürse bölüm 2 ve kalan 1 olduğundan

şeklinde yazabiliriz
Not: Kesirler eksili (negatif) de olabilirler

Örnek:

kesrinin basit bir kesir olabilmesi için x kaç tane değer alır?

Çözüm:
Bir kesrin basit bir kesir olabilmesi için payının paydasından küçük olması gerekir Dolayısıyla 2x - 3 < 12 olması gerekir x' i yalnız bırakabilmek için 3 sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atarsak
2x < 12 + 3
2x < 15
x < 15/2
bulunur x doğal sayı olduğuna göre 15/2' den küçük doğal sayılar
x = {0 1 2 3 4 5 6 7}
dir Bu nedenle x bu 8 tane değeri alırsa kesir basit kesir olur